Probabilités et statistiques : La science de l'incertitude : Quantifier l'incertitude : La fonction variable aléatoire

Dans cette session, nous passons d'une description qualitative des résultats à un cadre quantitatif rigoureux. Nous définissons une variable aléatoire non pas comme une « variable » au sens algébrique, mais comme une application déterministe — une fonction — qui transforme les éléments d'un espace échantillonnage en nombres réels.

Définition fonctionnelle (Définition 2.1.1)

Une variable aléatoire $X$ est une fonction $X: S \to R^1$ qui attribue un nombre réel $X(s)$ à chaque issue possible $s$ de l'espace échantillonnage $S$. Voir Figure 2.1.1 pour la représentation visuelle de ce processus.

La fonction indicatrice ($I_A$)

Pour relier la théorie des ensembles et l'arithmétique, nous définissons la fonction indicatrice d'un événement $A$ :

$$I_A(s) = \begin{cases} 1 & s \in A \\ 0 & s \notin A \end{cases}$$

Cela transforme la survenue d'un événement en un signal numérique binaire.

Définir les distributions (Définition 2.2.1)

La « distribution » de $X$ est l'ensemble des probabilités $P(X \in B)$ pour les sous-ensembles $B \subseteq R^1$. En termes stricts, il est nécessaire que $B$ soit un sous-ensemble de Borel, ce qui constitue une restriction technique issue de la théorie de la mesure. Toutefois, tout sous-ensemble que nous pouvons définir de façon pratique est un sous-ensemble de Borel.

Limites et continuité des probabilités

Pour garantir que nos fonctions se comportent de manière prévisible dans les contextes infinis, nous nous appuyons sur les axiomes établis dans les théorèmes 1.3.4 et 1.6.1 :

Additivité dénombrable (1.7.1) : $P(A_1 \cup A_2 \cup \cdots) = \sum P(B_n)$, où $B_n$ sont des versions disjointes de $A_n$.
Continuité de la probabilité (1.7.2) : Si une suite d'événements $\{A_n\} \nearrow A$, alors $\lim_{n \to \infty} P(A_n) = P(A)$.

Preuve du théorème 1.3.4

Nous voulons prouver que pour toute suite d'événements $A_1, A_2, \dots$ (pas nécessairement disjoints) :

$$P(A_1 \cup A_2 \cup \cdots) \leq P(A_1) + P(A_2) + \cdots$$

Ceci est connu sous le nom d'inégalité de Boole et est fondamental pour encadrer les probabilités dans des systèmes complexes.

🎯 Contexte historique

Le terme « variable aléatoire » a été choisi plutôt que « variable de hasard » par Joe Doob et William Feller par un tirage au sort en début des années 1950. Bien qu'il s'agisse techniquement d'une fonction, le nom « variable » s'est maintenu comme un héritage historique de ce célèbre tirage.

QUESTION 1

Soit $S = {1, 2, 3, \dots}$, et soient $X(s) = s^2$ et $Y(s) = 1/s$ pour $s \in S$. Ces grandeurs existent-elles comme variables aléatoires ?

Oui, car elles sont des fonctions qui associent à chaque s un nombre réel.

Non, car S est un ensemble infini.

Seule X existe ; Y est une fraction donc ce n'est pas une variable.

Aucune n'existe car leurs images ne sont pas des ensembles de Borel.

QUESTION 2

Considérez le lancer d'un dé équilibré à six faces ($S = {1,2,3,4,5,6}$). Soit $X(s) = s$. Soit $Y = X^2$. Quelle est la probabilité $P(Y \le 10)$ ?

$1/2$

$1/6$

$3/6$

$10/36$

QUESTION 3

Quel mathématicien a gagné le tirage au sort qui a déterminé le nom « variable aléatoire » plutôt que « variable de hasard » ?

Joe Doob et William Feller (variable aléatoire a gagné)

Kolmogorov (variable stochastique a gagné)

Thomas Bayes (variable a priori a gagné)

Pierre-Simon Laplace (variable de hasard a gagné)

QUESTION 4

Quel est le rôle principal de la fonction indicatrice $I_A$ ?

Agir comme un pont entre la théorie des ensembles (événements) et l'arithmétique.

Prouver qu'un ensemble est de Borel.

Calculer la dérivée d'une distribution.

Déterminer si un espace échantillonnage est discret.

QUESTION 5

Selon le théorème 1.6.1 (continuité de la probabilité), si nous avons une suite d'événements telle que $A_n \nearrow A$, que pouvons-nous dire sur la limite ?

lim P(A_n) = P(A)

lim P(A_n) = 1

P(A) doit être 0

La limite n'existe pas pour les variables non bornées.